Himpunan

HIMPUNAN

1.      Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Jenis-jenis Himpunan

1.      Himpunan Kosong

Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

2.      Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3.       Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

·         Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting. Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

·         Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan. Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}.

·         Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

                        (a) A = A, B = B dan C = C

                        (b) Jika A = B, maka B = A

                        (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

2.      Manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-sehari

Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

3.       Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari

Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu, mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.

Contoh-contohnya adalah sebagai berikut:

survei yang di lakukan PT(ABC) mengenai kebiasaan mahasiswa dalam mengakses informasi sbb :

400 orang mengakses informasi melalui koran

560 orang mengakses informasi melalui TV

340 orang mengakses informasi melalui internet

205 orang mengakses informasi melalui koran dan TV

175 orang mengakses informasi melalui TV dan Internet

160 orang mengakses informasi melalui koran dan internet

155 orang mengakses informasi melalui ketiganya

pertanyaan:

a. jika total mahasiswa perguruan tinggi 1100 berapa orang yang tidak  mengakses dari ketiga nya?

b. berapa orang yang tidak mengakses informasi melalui 2 media saja?

c. berapa orang yang mengakses informasi melalui satu media saja?

Jawab :

Total mahasiswa n(S) = 1100, Koran n(K) = 400, TV n(TV) = 560, Internet n(I) = 340

(K ∩ TV) = 205, (K ∩ I) = 160, (TV ∩ I) = 175, (K ∩ TV ∩ I) = 155,

(K 915 = 400 + 560 + 340 – 205 – 160 – 175 + 155

Cara penyelesaian yang mudah bisa dilakukan dengan menggambar diagram venn terlebih dulu, seperti gambar di bawah ini :

Buat diagram ven, berupa persegi untuk himpunan semesta S

Di dalamnya buat tiga lingkaran yang saling beririsan dan beri nama K, TV dan I.

Pada irisan ketiga lingkaran K ∩ TV ∩ I, tulis 155

Pada irisan K ∩ TV dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 205 - 155 = 50

Pada irisan K ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 160 - 155 = 5

Pada irisan TV ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 175 - 155 = 20

Pada lingkaran K dikurangi irisan, tulis 400 - (50 + 5 + 155) = 150

Pada lingkaran TV dikurangi irisan, tulis 560 - (50 + 20 + 155) = 335

Pada lingkaran I dikurangi irisan, tulis 340 - (5 + 20 + 155) = 150

Pada bagian luar lingkaran, tulis 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

Dari penyelesaian diatas, jawaban dapat disimpulkan seperti di bawah ini :

a] Yang tidak mengakses ketiga media --> 225 orang

cara : 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

b] Yang mengakses melalui dua media --> 75 orang

cara : 50 + 20 + 5 = 75

c] Yang mengakses melalui satu media --> 645 orang

cara : 150 + 335 + 160 = 645

Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:

Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan dengan cara berikut ini:

Data yang diketahui:

- Banyaknya siswa (S) = 50 = n(S)

-Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 = n(TI)

-Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 = n(TI∩TM)

-Siswa yang lulus = 20 = n(TI U TM)’

Yang ditanya :

Jawab:

 n(TI U TM) = n(S) -d n(TI UTM)’

= 50 – 8

= 7

n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM)

                             8 = 15 + n(TM) – 30

                            38 = 15 + n(TM)

                      n(TM) = 23

n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8

                        n(TM) saja  = 15

n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8

                           n(TI) saja  = 7

n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7

                                    n(TM) =  27

n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15

                  n(TI)'        =  35

Keterangan: - Tidak lulus bahasa inggris = TI

                   - Tidak lulus matematika = TM

:)Sekian dari saya Khairul Siregar

Bilangan

BILANGAN

   1.    Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

  2.    Macam-macam Bilangan

a.             Bilangan Bulat

1.        Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2.        Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a)      Sifat tertutup: Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b)       Sifat komutatif: Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c)      Sifat asosiatif: Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d)     Mempunyai unsur identitas: Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e)      Mempunyai invers: Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3.        Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4.        Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5.        Jika p dan q bilangan bulat maka

                                      a.         p x q = pq;

                                      b.        (–p) x q = –(p x q) = –pq;

                                      c.         p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

                                      d.         (–p) x (–q) = p x  q = pq.

6.        Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat:

a.       Tertutup terhadap operasi perkalian;

b.       Komutatif: p x q = q x p;

c.        Asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

d.      Distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

e.        Distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x  r).

7.        Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

b.             Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.

Contoh :

                     {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c.              Bilangan Prima

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.

d.             Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (real).

e.              Bilangan Desimal

bilangan desimal adalah sistem bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari 0,1,2 sampai 9, angka berikutnya adalah 10,11,12 dan seterusnya.

Contoh:

0,123

    3.    Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak bisa dibagi dengan 2. Contoh: 1,3,5,7, dan seterusnya.

Bilangan genap adalah bilangan yang bisa dibagi dengan 2. Contoh: 2,4,6, dan seterusnya.

 

     4.    Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai apabila pecahan tersebut mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama

Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai penyebut

Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:

1)        Pecahan Biasa

Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat

Contoh: 1/4 , 2/5 , 9/10

2)        Pecahan Murni

Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat dan berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan murnai dapat dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan sebagai pecahan murni

Contoh: 1/6 , 3/5, 7/15

3)        Pecahan campuran

Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni

Contoh: 3 ½, 4 ½, 5 ¾,

4)        Pecahan desimal

Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma,

Contoh: 0,4; 4,6; 9,2

5)        Persen atau perseratus

Pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %

Contoh: 4% artinya 4/100

:)Sekian dari saya Khairul Siregar